那些反直觉的数学

数学一向是非常严谨的,在生活中,有用到数学的地方也是和我们的直觉相符的。但确实会有一些反直觉的数学现象存在,而且非常有趣,今天我就整理了之前遇到的一些非常有趣的反直觉的数学问题,来聊聊为什么数学在生活中那么有用。

三人拾柴问题

有三个人A,B,C一起约定去郊游,到了地点后,需要生火做饭,于是三人就共同去拾柴火。半个小时后,三人都回来了,A一共拾了3斤柴火,B一共拾了4斤柴火,C这个家伙不知道是懒还是怎么着,一点柴火都没拾到。于是为了弥补自己没拾到柴火,C拿出了7元钱作为补偿给A和B,问,A和B应该怎么分这7元钱?

这个问题非常有意思,我记得这个问题是在我上初中还是高中的时候在一本课外书上看到的。当时看到后,直接感觉,这有什么问题啊,A拾了3斤,B拾了4斤,总共7块钱作为补偿,那不正好A分3块,B分4块嘛?如果你也是这么想的,请暂停3分钟,再思考一下,这样对么?

好了,3分钟到了,我们再来看看这个问题。

首先说结论,A分3元,B分4元肯定是不对的。正确的是A分2元,B分5元。

怎么的呢?

先看上面我们“直觉”上的A分3块,B分4块这种方案,这种方案其实是相当于,C拿出来了7块钱去买A和B拾的柴火,C作为一个消费者,A和B作为生产者,那么上面这种分法是没问题的,相当于一斤柴火一块钱,A卖3斤得3块,B卖4斤得4块。

但事实上,A,B,C三人的关系并非是这样,他们三人是合作关系,C拿出来的这7块钱,不是为了买A和B拾的这7斤柴火,而是为了弥补自己没拾到柴火的愧疚。

那应该怎么算呢,刚才说了,A,B,C,三人是合作关系,那么要分这块钱,只需要计算A和B分别多拾的柴火,然后根据多拾的柴火比例去分这7块钱即可。

总共拾了7斤(A拾了3斤,B拾了4斤)柴火,那么平均每个人应该是 7/3 斤(为什么这么算,因为这些柴火最终是要烧掉的,而烧掉是三人共同烧的,相当于每个人消费了7/3斤柴火),C没拾,拿出7块作为补偿,也就是说 7/3 斤柴火值7块钱,因此算得1斤柴火值3块。

A多拾了 3-7/3=2/3 斤
B多拾了 4-7/3=5/3 斤

1斤柴火值3块钱,也就是A应该分 2/3 3 = 2块,B应该分 5/3 3 = 5块。

这个问题之所以反直觉是因为我们会想当然的认为C的这7块钱是买了A和B的柴火,其实不是,在这整个过程中,A和B,还有C其实是合作关系,这7块钱是补偿,不是买。

三门问题

话说有个电视节目,有三个门,其中只有一个门后面有一辆汽车,其余两个门后面什么都没有。观众先选定一个门,先不打开,这时候,主持人打开剩余两个门中的一个,打开一看,哎,也是空门,这个时候主持人问了,你要不要换选择啊,如果是你,你会换选择另外一个门么?

乍一看,好像换不换,猜中汽车的概率都是50%,因为主持人打开了一个门,是空门,那么汽车肯定是在另外两个门后面。不管换不换,都是从两个门中选一个,概率不都是50%嘛。

对的,主持人打开了一个空门,那么汽车肯定在另外两个门后面,可是你换不换都是50%的概率么?

显然不大对,因为我们先是从三个未知的门里选择一个,而后主持人又给开了一个空门,这里面是有两个步骤的,3选1,而后2选1。

首先,我们明确的是,不管我们选哪个,主持人都能给你开一个空门,因为有两个空门,即使你选择一个,他也能给你开另一个。而正是这个明确的开空门的动作,悄悄改变了概率,在高中的时候我们学概率时,有个名词叫“条件概率”,对这就是一个条件概率,这个条件就是主持人给你开了一个空门。

好了,我们来看看应该怎么去计算换还是不换的概率吧。

首先,从三个门中选择,会有两种情况,2/3的概率选中空门,没有汽车。1/3的概率选中汽车。

刚才说了,不管是哪种情况,主持人都能“随机应变”,给你开一个空门。那么我们来看看在这两种情况下应该怎么做选择。

如果是选中空门的情况下,我们自己选的是空门,主持人开了一个空门,那么最后那个没被选中的门后面肯定是汽车啊,这个时候肯定得换。也就是说,2/
3的概率我们应该要换。
如果是选中汽车门的情况下,主持人开的是空门,最后那个没被选中的门也是空门,此时不应该换,也就是说,1/3的概率我们不应该换。

显然,问题很明朗了,要想得到汽车,我们必须换的。

百人百灯问题

房间里有一百个灯,编号1-100,默认是关的。房间外有一百个人,编号1-100。房间外100个人依次进入房间,将编号是自己编号倍数的灯拉一下,比如,如果是编号为1的人,进入房间将所有的灯都拉一下,编号是2的人进入房间,将2,4,6,8…的灯拉一下。问,100个人过后,房间内还有哪些灯是亮的? 灯默认是关的,拉一下开关,点亮,再拉一下开关,关闭,依次类推。

这个问题乍一看,太复杂了,要真这么算,是不是要让100个人都进入房间拉一遍,然后再看哪些灯是亮的。这样人工算下来,太麻烦了吧?

可是,这真的有这么麻烦么?

没那么麻烦,先说结论,最后亮的灯有 1,4,9,16,25,36,49,64,81,100

看到结果是不是觉得有点眼熟,这些数很有规律,都是自然数的平方数。可是为什么是这样呢?

灯默认是关的,那么最后如果是亮的,发生了什么呢?肯定是被人拉了奇数下,比如拉一下,拉3下,反正只要被拉了奇数下,最后肯定是亮的。

好了,有了这个常识,我们再来慢慢分析。

人对于灯的操作是这样的,进入房间后,把所有编号是自己编号倍数的灯拉一遍,那么对于灯来说,要想找到最后还亮的灯,只需要找到因数有奇数个的即可。因数都是成对出现的,什么时候会出现奇数个呢?那就是有两个因数相等的时候。

问题很明朗了,1-100中,有哪些数有奇数个因数呢?1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,因为这些数的因数除了其他成对出现的,还有一个就是可认为是两个相等的因数,即分别是1,2,3,4,5,6,7,8,9,10。