js中0.1+0.2为什么不等于0.3

前两天看了小胡子哥写了一篇js中浮点数运算的一个比较特殊的0.1+0.2的问题,揭秘 0.1 + 0.2 != 0.3,略感小胡子哥写的还是稍微粗略,于是查各种资料,将包括IEEE754关于浮点数二进制的只是又整理一下,做此记录。

IEEE754浮点数二进制表示

IEEE754浮点数

上图是IEEE对浮点数表示的说明,这里分单精度与双精度之分,如下图:
单精度与双精度

对于单精度浮点数,采用32位存储,最高的1位是符号位s,接着的8位是指数E,剩下的23位为有效数字M。
对于双精度浮点数,采用64位存储,最高的1位是符号位S,接着的11位是指数E,剩下的52位为有效数字M。
在单精度浮点格式中,s、exp和frac字段分别为 1 位、k = 8 位和 n = 23 位,得到一个 32 位的表示。 在双精度浮点格式(C 语言中的 double)中,s、exp 和 frac 字段分别为 1 位、k = 11 位和 n = 52 位,得到一个 64 位的表示。

根据 exp 的值,被编码的值可以分成三种不同的情况(最后一种情况有两 个变种)。下图说明了对单精度格式的情况。
单精度浮点数

情况1:格式化的值

格式化的值

情况2:非格式化的值

非格式化的值

情况3:特殊值

特殊值

好了,下面我们重点关注一下情况1,并举例来看,不然实在头大啊。以单精度举例。

浮点数转换为二进制

浮点数转换成二进制,我们要将整数部分和小数部分分开,整数部分采用除2取余,小数部分采用乘2取整。
例如,13.125 转换为二进制:
1.整数部分

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14

13
÷ 2
-------------- ↑
6 1 |
÷ 2 |
-------------- |
3 0 |
÷ 2 |
-------------- |
1 1 |
÷ 2 |
-------------- |
0 1 ----

逆序将余数拼上得到13的二进制:1101

2.小数部分

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
        0.125
x 2 ----
----------------- |
0.25 0 |
x 2 |
----------------- |
0.5 0 |
x 2 |
----------------- |
1.0 1 ↓

得到小数部分的二进制:0.001

两部分相加,得到13.125的二进制:1101.001

好了,到现在,我们知道了如何将浮点数转换为二进制表示,也知道了IEEE中浮点数的存储方式,那么,我们接下来用13.125这个例子来看看计算机中具体是如何表示的呢。

二进制 1101.001可以写成 1.101001 * 2^3,即这里 M 为 1.101001,E为3,s为0。
单精度下,符号位s即为0,阶码字段exp的值e=E+127,即e=3+127=130,130的二进制表示为10000010
小数字段,frac为尾数M的二进制,即1.101001
那么,在单精度下,计算机中的表示为:

1
2
3
0  10000010  101001 00000000000000000
-------------------------------------
s exp frac

0.1+0.2

好了,关于浮点数转换二进制,以及浮点数的表示我们都知道了,那么,现在我们来看看,为什么 0.1+0.2!=0.3的吧。首先,我们还是先看看js里到底输出多少吧:

1
2
> 0.1+0.2
0.30000000000000004

0.1的二进制

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
    0.1
x 2
-------
0.2 0
x 2
-------
0.4 0
x 2
-------
0.8 0
x 2
-------
0.6 1
x 2
-------
0.2 1
------- 又从0.2开始循环了

于是,我们得到了0.1的二进制表示,即为0.0001100110011(0011循环),即1.100110011(0011)*2^-4
即,M 1.100110011(0011),E -4,
那么,s=0,e=-4+1023=1019,
那么,js中由于是双精度的,那么0.1的表示为:

1
2
3
0  01111111011  1001100110011001100110011001100110011001100110011001
--------------------------------------------------------------------
s exp(11位) frac(52位)

0.2的二进制

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
    0.2
x 2
-------
0.4 0
x 2
-------
0.8 0
x 2
-------
0.6 1
x 2
-------
0.2 1
------- 又从0.2开始循环了

0.2的二进制表示:0.001100110011(0011循环),即1.100110011(0011)*2^-3
那么,js双精度0.2的表示:

1
0  01111111100  1001100110011001100110011001100110011001100110011001

浮点数运算

浮点数的加减运算一般由以下五个步骤完成:

  • 对阶
  • 尾数运算
  • 结果规格化
  • 舍入处理
  • 溢出判断

1.对阶

将两个进行运算的浮点数的阶码对齐的操作。对阶的目的是为使两个浮点数的尾数能够进行加减运算。因为,当进行Mx·2Ex与My·2Ey加减运算时,只有使两浮点数的指数值部分相同,才能将相同的指数值作为公因数提出来,然后进行尾数的加减运算。
对阶的具体方法是:首先求出两浮点数阶码的差,即⊿E=Ex-Ey,将小阶码加上⊿E,使之与大阶码相等,同时将小阶码对应的浮点数的尾数右移相应位数,以保证该浮点数的值不变。几点注意:

(1)对阶的原则是小阶对大阶,之所以这样做是因为若大阶对小阶,则尾数的数值部分的高位需移出,而小阶对大阶移出的是尾数的数值部分的低位,这样损失的精度更小。

(2)若⊿E=0,说明两浮点数的阶码已经相同,无需再做对阶操作了。

(3)采用补码表示的尾数右移时,符号位保持不变。

(4)由于尾数右移时是将最低位移出,会损失一定的精度,为减少误差,可先保留若干移出的位,供以后舍入处理用。

2. 尾数运算

尾数运算就是进行完成对阶后的尾数相加减。这里采用的就是我们前面讲过的纯小数的定点数加减运算。

3. 结果规格化

在机器中,为保证浮点数表示的唯一性,浮点数在机器中都是以规格化形式存储的。对于IEEE754标准的浮点数来说,就是尾数必须是1.M的形式。由于在进行上述两个定点小数的尾数相加减运算后,尾数有可能是非规格化形式,为此必须进行规格化操作。 规格化操作包括左规和右规两种情况。 左规操作:将尾数左移,同时阶码减值,直至尾数成为1.M的形式。例如,浮点数0.0011·25是非规格化的形式,需进行左规操作,将其尾数左移3位,同时阶码减3,就变成1.1100·22规格化形式了。 右规操作:将尾数右移1位,同时阶码增1,便成为规格化的形式了。要注意的是,右规操作只需将尾数右移一位即可,这种情况出现在尾数的最高位(小数点前一位)运算时出现了进位,使尾数成为10.xxxx或11.xxxx的形式。例如,10.0011·25右规一位后便成为
1.00011·26的规格化形式了。

4. 舍入处理

浮点运算在对阶或右规时,尾数需要右移,被右移出去的位会被丢掉,从而造成运算结果精度的损失。为了减少这种精度损失,可以将一定位数的移出位先保留起来,称为保护位,在规格化后用于舍入处理。 IEEE754标准列出了四种可选的舍入处理方法:

(1)就近舍入(round to nearest) 这是标准列出的默认舍入方式,其含义相当于我们日常所说的“四舍五入”。例如,对于32位单精度浮点数来说,若超出可保存的23位的多余位大于等于100…01,则多余位的值超过了最低可表示位值的一半,这种情况下,舍入的方法是在尾数的最低有效位上加1;若多余位小于等于011…11,则直接舍去;若多余位为100…00,此时再判断尾数的最低有效位的值,若为0则直接舍去,若为1则再加1。

(2)朝+∞舍入(round toward +∞) 对正数来说,只要多余位不为全0,则向尾数最低有效位进1;对负数来说,则是简单地舍去。

(3)朝-∞舍入(round toward -∞) 与朝+∞舍入方法正好相反,对正数来说,只是简单地舍去;对负数来说,只要多余位不为全0,则向尾数最低有效位进1。

(4)朝0舍入(round toward 0) 即简单地截断舍去,而不管多余位是什么值。这种方法实现简单,但容易形成累积误差,且舍入处理后的值总是向下偏差。

5. 溢出判断

与定点数运算不同的是,浮点数的溢出是以其运算结果的阶码的值是否产生溢出来判断的。若阶码的值超过了阶码所能表示的最大正数,则为上溢,进一步,若此时浮点数为正数,则为正上溢,记为+∞,若浮点数为负数,则为负上溢,记为-∞;若阶码的值超过了阶码所能表示的最小负数,则为下溢,进一步,若此时浮点数为正数,则为正下溢,若浮点数为负数,则为负下溢。正下溢和负下溢都作为0处理。

计算0.1+0.2

0.1的阶码-4,0.2的阶码-3,对阶阶段,将0.1的阶码变为-3,然后0.1的尾数部分:

1
1100110011001100110011001100110011001100110011001100

可能会有人问,这里最高位怎么是1,移位后不应该是0么,别忘了,尾数部分我们隐含了一个最高位是1的条件,因此,移位后,会将该位一并移过来。
将其与0.2的尾数部分进行相加:

1
2
3
4
    1100110011001100110011001100110011001100110011001100
+ 1001100110011001100110011001100110011001100110011001
----------------------------------------------------
100110011001100110011001100110011001100110011001100111

注意,这里计算时,进位2位,去除原来最高位默认的1,相当于阶码部分加1,即由原来的-3变为-2,那么,阶码部分的表示:

1
1111111101

而尾数部分,去除最高位1,最后一位1,进行舍入,得到52位新的二进制表示:

1
0011001100110011001100110011001100110011001100110100

即,最后计算的结果如下:

1
0  01111111101  0011001100110011001100110011001100110011001100110100

该数表示的即0.1+0.2的结果 2^-2 * 1.0011001100110011001100110011001100110011001100110100
将其转换成十进制数为:0.3000000000000000444089209850062616169452667236328125
由于精度问题,只取到0.30000000000000004

到这里,就把所有的推演过程所需要的知识补充完整了,在推演的过程中,真心觉得,人工推演二进制真累啊,十分感谢计算机前辈,设计出方案并实践于计算机,感谢。